Question

13．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，以F₁F₂为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P，过点P向x轴作垂线，垂足为H，若|PH|=a，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}+1}}{2}$

Answer 1

分析 运用双曲线的定义和直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理，化简可得|PF₁|•|PF₂|=2c²-2a²，再由三角形的等积法，结合离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，①
由直径所对的圆周角为直角，可得PF₁⊥PF₂，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=4c²，②
②-①²，可得2|PF₁|•|PF₂|=4c²-4a²，
即有|PF₁|•|PF₂|=2c²-2a²，
由三角形的面积公式可得，$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$|PH|•|F₁F₂|，
即有2c²-2a²=2ac，
由e=$\frac{c}{a}$可得，e²-e-1=0，
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（负的舍去）．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直径所对的圆周角为直角，以及双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．