Question

1．在平面内，定点A、B、C、D满足：|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，动点P、M满足：|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则|$\overrightarrow{BM}$|的最大值是$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件可知A，B，C三点共圆，M为PC的中点，于是$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BC}$）．建立平面直角坐标系得出$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BP}$的坐标，计算${\overrightarrow{BM}}^{2}$得出模长关于α的函数，利用三角函数的恒等变换得出模长的最大值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，∴A，B，C在以D为圆心的圆D上，
∵$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，∴$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DC}$两两夹角相等均为120°，∴|DA|=2，
以D为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），则B（-1，-$\sqrt{3}$），C（-1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BC}$=（0，2$\sqrt{3}$）．
∵|$\overrightarrow{AP}$|=1，∴P在以A为圆心，以1为半径的圆A上，
∵$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，∴M为PC的中点，∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BC}$）．
设P（2+cosα，sinα），则$\overrightarrow{BP}$=（3+cosα，sinα+$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{BM}}^{2}$=（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{2}cosα$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{37}{4}$=3sin（α+$\frac{π}{6}$）+$\frac{37}{4}$，
∴|$\overrightarrow{BM}$|的最大值为$\sqrt{3+\frac{37}{4}}$=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，向量的模长计算，属于中档题．