Question

17．圆x²+y²-2ax=0上有且仅有一点满足：到定点O（0，0）与A（3，0）的距离之比为2，则实数a的取值范围为{1，3}．

Answer 1

分析 求出到定点O（0，0）与A（3，0）的距离之比为2的点的轨迹是圆D，根据圆C上有且仅有一点满足到定点O与A的距离之比为2时，两圆相切，由此求出a的值．

解答 解：圆x²+y²-2ax=0可化为（x-a）²+y²=a²，
则圆心为C（a，0），半径为|a|；
设圆上的点P（x，y），则|PO|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$，
|PA|=$\sqrt{{（x-3）}^{2}{+y}^{2}}$，
由$\frac{|PO|}{|PA|}$=2，
得$\frac{\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}}{\sqrt{{（x-3）}^{2}{+y}^{2}}}$=2，
化简得x²+y²-8x+12=0，
化为标准方程是（x-4）²+y²=4，
其圆心是D（4，0），半径是2；
当圆C上有且仅有一点满足到定点O与A的距离之比为2时，两圆相切；
外切时|4-a|=|a|+2，解得a=1；
两圆内切时，|4-a|=||a|-2|，解得a=3；
综上，a的取值范围是1≤a≤3．
故答案为：{1，3}．

点评 本题考查了求点的轨迹的应用问题，也考查了两圆的位置关系的应用问题，是综合性题目．