Question

5．一种放射性元素，最初的质量为500克，按每年10%衰减．
（1）求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
（2）用求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期．（放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，叫“半衰期”）（lg0.5≈-0.3010，lg0.9≈-0.0458，结果精确到0.1）．

Answer 1

分析 （1）根据最初的质量为500克，按每年10%衰减，可得t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
（2）根据题意得，解方程500×0.9^t=250，两边取对数，再用换底公式变形，代入已知数据可得x的近似值，四舍五入即可得出正确答案．

解答 解：（1）最初的质量为500g，
经过1年后，ω=500（1-10%）=500×0.9¹，
经过2年后，ω=500×0.9（1-10%）=500×0.9²，
由此推知，t年后，ω=500×0.9^t，
∴t年后，ω关于t的表达式为ω=500×0.9^t．    …6 分
（2）根据题意得，解方程500×0.9^t=250，0.9^t=0.5
∴lg0.9^t=lg0.5，∴tlg0.9=lg0.5，
∴t=$\frac{lg0.5}{lg0.9}$≈6.6（年），
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．…6 分

点评 本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于中档题．