Question

设不等式组所表示的平面区域为，记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为.

（1）求的值及的表达式；

（2）记，试比较的大小；若对于一切的正整数，总有成立，求实数的取值范围；

（3）设为数列的前项的和，其中，问是否存在正整数，使成立？若存在，求出正整数；若不存在，说明理由.

Answer 1

（本小题主要考查数列、不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

解：⑴            -----------------2分

当时，

取值为1，2，3，…，共有个格点

当时，

取值为1，2，3，…，共有个格点

∴               -----------------4分

⑵

   -------------5分

当时，

当时，

                ------------------6分

∴时，

时，

时，

∴中的最大值为.        ------------------8分

要使对于一切的正整数恒成立，

只需

∴ -------------------9分

⑶

.             ---------------10分

将代入，

化简得，（﹡）-------------------11分

若时 ，

，

显然-------------------12分

若时 

（﹡）式化简为

不可能成立 --------------13分

综上，

存在正整数

使成立.                - --------------14分