Question

2．将边长为1的正方形AA₁O₁O（及其内部）绕OO₁旋转一周形成圆柱，如图，$\widehat{AC}$长为$\frac{5π}{6}$，$\widehat{{A}_{1}{B}_{1}}$长为$\frac{π}{3}$，其中B₁与C在平面AA₁O₁O的同侧．
（1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O₁B₁与OC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆柱的体积公式，侧面积公式求解即可．
（2）设点B₁在下底面圆周的射影为B，连结BB₁，即可求解所求角的大小．

解答 解：（1）将边长为1的正方形AA₁O₁O（及其内部）绕OO₁旋转一周形成圆柱，圆柱的体积为：π•1²•1=π．
侧面积为：2π•1=2π．
（2）设点B₁在下底面圆周的射影为B，连结BB₁，OB，则OB∥O₁B，
∴∠AOB=$\frac{π}{3}$，异面直线O₁B₁与OC所成的角的大小就是∠COB，
大小为：$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查几何体的体积侧面积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．