Question

2．已知f（x）=2cos$\frac{π}{6}$x，则f（0）+f（1）+f（2）+…f（2006）=（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 2+$\sqrt{3}$
• D． 3+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据f（x）=2cos$\frac{π}{6}$x的解析式可知该函数是周期函数，可以先取一些函数值找出规律，再求出f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）的值．

解答 解：∵f（x）=2cos$\frac{π}{6}$x，
∴当n=1时，f（1）=2cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，
当n=2时，f（2）=2cos$\frac{π}{3}$=1，
当n=3时，f（3）=2cos$\frac{π}{2}$=0，
当n=4时，f（4）=2cos$\frac{2π}{3}$=-1，
当n=5时，f（5）=2cos$\frac{5π}{6}$=-$\sqrt{3}$；
当n=6时，f（6）=2cosπ=-2，
当n=7时，f（7）=2cos$\frac{7π}{6}$=-$\sqrt{3}$，
当n=8时，f（8）=2cos$\frac{4π}{3}$=-1，
当n=9时，f（9）=2cos$\frac{3π}{2}$=0，…，
由以上数值出现的规律可以知道，此函数的一个周期为T=12，
利用函数的周期性，而f（1）+f（2）+f（3）+…f（12）=0，
则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2006）
=168×0+f（0）+f（1）+f（2）
=2+$\sqrt{3}$+1
=3+$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了利用函数解析式求函数值的应用问题，解题时应利用观察法求函数的周期，利用函数的周期性对很多项函数值求解，是基础题目．