Question

13．已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的奇函数，其图象关于点M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，且在区间[0，$\frac{π}{3}$]上是单调函数，求函数y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由f（x）=cos（ωx+φ）=-sin（ωx+φ-$\frac{π}{2}$）是R上的奇函数，求得φ=$\frac{π}{2}$．由图象关于M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，可得sin$\frac{3πω}{4}$=0，求得ω=$\frac{4k}{3}$，k∈z．再根据f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是单调函数，可得$\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2ω}$，从而求得ω和φ的值，即可得解函数解析式．

解答 解：∵f（x）=cos（ωx+φ）=sin（$\frac{π}{2}$-ωx-φ）=-sin（ωx+φ-$\frac{π}{2}$）是R上的奇函数，
∴f（0）=sin（φ-$\frac{π}{2}$）=0，
∵0≤φ≤π，
∴φ=$\frac{π}{2}$．f（x）=-sinωx，
又∵图象关于M（$\frac{3π}{4}$，0）对称，
∴sin$\frac{3πω}{4}$=0，
∴$\frac{3πω}{4}$=kπ，k∈Z，
∴ω=$\frac{4k}{3}$，k∈Z．①
又∵f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上是单调函数，
∴$\frac{π}{3}$≤$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2ω}$，
∴0＜ω≤$\frac{3}{2}$，②
∴ω=$\frac{4}{3}$，
∴f（x）=-sin$\frac{4}{3}$x．

点评 本题主要考查正弦函数的图象和性质，余弦函数的单调性，函数定义域的求法，属于基本知识的考查．