Question

17．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点．
（1）求异面直线AE和PB所成角的余弦值．
（2）求三棱锥A-EBC的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，∠AEF（或其补角）就是异面直线AE和PB所成角，由此能求出异面直线AE和PB所成角的余弦值．
（2）由V_A-EBC=V_E-ABC，能求出三棱锥A-EBC的体积．

解答 解：（1）取BC的中点F，连结EF、AF，则EF∥PB，
所以∠AEF（或其补角）就是异面直线AE和PB所成角．
∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，
∴AF=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{2}$，EF=$\sqrt{2}$；
cos∠AEF=$\frac{2+2-3}{2×\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{4}$，
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．…（8分）
（2）因为E是PC中点，
所以E到平面ABC的距离为$\frac{1}{2}$PA=1，
∴三棱锥A-EBC的体积：
V_A-EBC=V_E-ABC=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．