Question

14．直线mx-ny+2=0（m，n＞0）被圆x²+y²+2x-2y+1=0截得弦长为2，则$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由已知条件推导出直线mx-ny+2=0过圆心（-1，1），从而得出m+n=2，再利用基本不等式能求出$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：由x²+y²+2x-2y+1=0得：（x+1）²+（y-1）²=1，
∴该圆的圆心为O（-1，1），半径r=1；
又直线mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）被圆x²+y²+2x-2y+1=0截得的弦长为2，
∴直线mx-ny+2=0（m＞0，n＞0）经过圆心O（-1，1），
∴-m-n+2=0，即m+n=2，又m＞0，n＞0，
∴$\frac{4}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{2（m+n）}{m}$+$\frac{m+n}{2n}$=2+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{2n}$+$\frac{1}{2}$≥$\frac{5}{2}$+2•$\sqrt{\frac{2n}{m}•\frac{m}{2n}}$=$\frac{9}{2}$，
当且仅当m=$\frac{4}{3}$，n=$\frac{2}{3}$时取“=”．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是综合性题目．