Question

10．已知函数f（x）=x|x+a|-$\frac{1}{2}$lnx．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＜0，讨论函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx，函数的定义域为（0，+∞），求导数，断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；
（2）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论函数f（x）的极值点．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x²-$\frac{1}{2}$lnx，函数的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=$\frac{（2x-1）（2x+1）}{2x}$，
令f′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的单调增区间是（$\frac{1}{2}$，+∞），单调减区间是（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）当a＜0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-\frac{1}{2}lnx，x＞-a}\\{-{x}^{2}-ax-\frac{1}{2}lnx，0＜x＜-a}\end{array}\right.$．
①x＞-a时，f′（x）=$\frac{4{x}^{2}+2ax-1}{2x}$=0，可得x₁=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$，x₂=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＜-a（舍去）．
若$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$≤-a，即a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（-a，+∞）上单调递增；
若$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$＞-a，即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜0，则当x∈（-a，x₁）时，f′（x）＜0，x∈（x₁，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在∈（-a，x₁）上单调递减，在（x₁，+∞）上单调递增．
②当0＜x＜-a时，f′（x）=$\frac{-4{x}^{2}-2ax-1}{2x}$=0，得-4x²-2ax-1=0．
记△=4a²-16．
△≤0，即-2≤a＜0，f′（x）≤0，∴f（x）在（0，-a）上单调递减；
△＞0，即a＜-2，f′（x）=0可得x₃=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$，x₄=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$且0＜x₃＜x₄＜-a．
x∈（0，x₃）时，f′（x）＜0，x∈（x₃，x₄）时，f′（x）＞0，x∈（x₄，-a），f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，x₃）上单调递减，在（x₃，x₄）上单调递增，在（x₄，-a）上单调递减，
综上所述，a＜-2时，f（x）的极小值点为$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$，极大值点为$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4}}{4}$；-2≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f（x）无极值点；
-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜0时，f（x）的极小值点为$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4}}{4}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性问题，考查分类讨论的数学思想，有难度．