Question

9．如果C${\;}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$=$\frac{31}{n+1}$，则（1+x）²ⁿ的展开式中系数最大的项为70x⁴．

Answer 1

分析 由k•${C}_{n+1}^{k}$=（n+1）•${C}_{n}^{k-1}$，得$\frac{1}{k}$•${C}_{n}^{k-1}$=$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{k}$，化简C${\;}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$，求出n的值，再求二项式展开式中系数最大的项．

解答 解：由k•${C}_{n+1}^{k}$=（n+1）•${C}_{n}^{k-1}$，得$\frac{1}{k}$•${C}_{n}^{k-1}$=$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{k}$，
∴C${\;}_{n}^{0}$+$\frac{1}{2}$C${\;}_{n}^{1}$+$\frac{1}{3}$C${\;}_{n}^{2}$+…+$\frac{1}{n+1}$C${\;}_{n}^{n}$
=$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{1}$+$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{2}$+$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$•${C}_{n+1}^{n+1}$
=$\frac{1}{n+1}$•（${C}_{n+1}^{1}$+${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n+1}^{3}$+…+${C}_{n+1}^{n+1}$）
=$\frac{1}{n+1}$•（2ⁿ⁺¹-1）=$\frac{31}{n+1}$，
解得n=4；
∴（1+x）^2×4的展开式中系数最大的项为${C}_{8}^{4}$x⁴=70x⁴．
故答案为：70x⁴．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题