Question

11．已知直线l：2x+y+m=0（m∈R），圆O：x²+y²=4．
（1）若直线l将圆O分成的两端弧之比为1：3，求m的值；
（2）P是直线l上的任意一点，PA、PB是圆O的两条切线，A，B是切点，若四边形OAPB面积的最小值为2$\sqrt{5}$，求m的值；
（3）在（2）的条件下，以直线l上的点M为圆心所作的圆M与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l将圆O分成的两端弧之比为1：3，可得劣弧所对的圆心角为90°，即可求m的值；
（2）由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，即可求m的值；
（3）以M为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，即可求出半径最小的圆的方程．

解答 解：（1）∵直线l将圆O分成的两端弧之比为1：3，
∴劣弧所对的圆心角为90°，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m=±$\sqrt{10}$；
（2）根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，
切线长PA，PB最小．切线长为$\sqrt{5}$，圆心到直线l的距离为3，∴d=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$=3，
∴m=±3$\sqrt{5}$；
（3）以M为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心M为过原点且与l垂直的直线l′与l的交点P₀，所以r=3$\sqrt{5}$-2，
又l′：x-2y=0，联立l：2x+y+m=0得P₀（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）或P₀（-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）．
所以所求圆的方程为（x-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$）²+（y-$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=（3$\sqrt{5}$-2）²或（x+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$）²+（y+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=（3$\sqrt{5}$-2）²．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．