Question

4．设函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R，若对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，则m的取值范围为[$\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；即h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上单调递减；h′（x）≤0，求出m的取值范围．

解答 （Ⅲ）对任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，
等价于f（b）-b＜f（a）-a恒成立；
设h（x）=f（x）-x=lnx+$\frac{m}{x}$-x（x＞0），
则h（b）＜h（a）．
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≥-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$（x＞0），
∴m≥$\frac{1}{4}$；
对于m=$\frac{1}{4}$，h′（x）=0仅在x=$\frac{1}{2}$时成立；
∴m的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．