在平面直角坐标系中.以坐标原点为极点.x轴的非负半轴为极轴.建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为:ρ=4cosθ.直线l的参数方程为:$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$.直线l与C交于P1.P2两点．(1)求曲线C的直角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），直线l与C交于P₁，P₂两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）已知Q（3，0），求||P₁Q|-|P₂Q||的值．

分析（1）曲线C的极坐标方程转化为ρ²=4ρcosθ，由$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ^2}={x^2}+{y^2}}\\{ρcosθ=x}\end{array}}\right.$能求出曲线C的直角坐标方程，直线l消去参数t得能求出直线l的直角坐标方程．
（2）将直线l的参数方程代入x²+y²=4x，得：${t^2}+\sqrt{3}t-3=0$，再由点Q（3，0）在圆C的内部，能求出||P₁Q|-|P₂Q||的值．

解答解：（1）∵曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，
由$\left\{{\begin{array}{l}{{ρ^2}={x^2}+{y^2}}\\{ρcosθ=x}\end{array}}\right.$得x²+y²=4x，
即C的直角坐标方程为：（x-2）²+y²=4，
∵直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），
∴直线l消去参数t得直线l的普通方程为：$x-\sqrt{3}y-3=0$．
（2）将直线l的参数方程代入x²+y²=4x，得：${t^2}+\sqrt{3}t-3=0$，
设P₁，P₂的对应参数分别为t₁，t₂，∴${t_1}+{t_2}=-\sqrt{3}，{t_1}{t_2}=-3$，
而（3-2）²+0²＜4，即点Q（3，0）在圆C的内部，
∴$|{|{{P_1}Q}|-|{{P_2}Q}|}|=|{|{t_1}|-|{t_2}|}|=|{{t_1}+{t_2}}|=\sqrt{3}$．