题目内容
18．
某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：| 等级 | 不合格 | 合格 | ||
| 得分 | [20，40） | [40，60） | [60，80） | [80，100] |
| 频数 | 6 | a | 24 | b |
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；
（Ⅲ）某评估机构以指标M（M=$\frac{E（ξ）}{D（ξ）}$，其中D（ξ）表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案．在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
分析 （I）利用频率分布直方图的性质即可得出．
（II）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数=$\frac{24}{60}×$10=4，则“合格”的学生数=6．由题意可得ξ=0，5，10，15，20．利用“超几何分布列”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列与数学期望．
（III）利用Dξ计算公式即可得出，可得M=$\frac{E（ξ）}{D（ξ）}$，即可得出结论．
解答 解：（I）样本容量=$\frac{6}{0.005×20}$=60．b=60×（0.01×20）=12，
a=60-6-12-24=18．组距为20，
∵在频率分布直方图中，各个长方形的面积的和等于1．
∴20（0.005+0.01+c+0.02）=1
解得c=0.015
（II）从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数=$\frac{24}{60}×$10=4，则“合格”的学生数=10-4=6．
由题意可得ξ=0，5，10，15，20．
则P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{4}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$，P（ξ=5）=$\frac{{∁}_{4}^{3}{∁}_{6}^{1}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{24}{210}$，P（ξ=10）=$\frac{{∁}_{4}^{2}{∁}_{6}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{90}{210}$，P（ξ=15）=$\frac{{∁}_{4}^{1}×{∁}_{6}^{3}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{80}{210}$，P（ξ=20）=$\frac{{∁}_{6}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{15}{210}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
| P | $\frac{1}{210}$ | $\frac{24}{210}$ | $\frac{90}{210}$ | $\frac{80}{210}$ | $\frac{15}{210}$ |
（III）Dξ=（0-12）2×$\frac{1}{210}$+$（5-12）^{2}×\frac{24}{210}$+（10-12）2×$\frac{90}{210}$+（15-12）2×$\frac{80}{210}$+（20-12）2×$\frac{15}{210}$=16．
∴M=$\frac{E（ξ）}{D（ξ）}$=$\frac{12}{16}$=0.75＞0.7，则认定教育活动是有效的；在（Ⅱ）的条件下，判断该校不用调整安全教育方案．
点评 本题考查了频率分布直方图的性质、分层抽样、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
阅读快车系列答案| A． | [$\frac{1}{5}$，1] | B． | [1，5] | C． | [$\frac{1}{5}$，5] | D． | （-∞，$\frac{1}{5}$]∪[5，+∞） |
| A． | 充分但不必要条件 | B． | 必要但不充分条件 | ||
| C． | 充分必要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
| A． | ?x0∈R，e${\;}^{{x}_{0}}$≤0 | |
| B． | ?x∈R，2x＞x2 | |
| C． | 已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是$\frac{a}{b}$=-1 | |
| D． | 已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件． |