Question

3．设函数f（x）=|x-a|+|x-5|．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）如果对任意的实数x，都有f（x）≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）写成分段函数的形式，画出函数图象即可；（2）根据绝对值的几何意义得到关于a的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：（1）根据题意将绝对值符号去掉得分段函数：
$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{6-2x，x≤1}\\{4，1＜x＜5}\\{2x-6，x≥5}\end{array}}\right.$，
作出函数的图象，如图：

由图象可知，函数f（x）的最小值为4；
（2）∵对?x∈R，f（x）≥1，
∴|x-a|+|x-5|≥1对一切实数x恒成立，
∵|x-a|+|x-5|=|a-x|+|x-5|≥|a-5|，
∴|a-5|≥1，
∴a≥6或a≤4，
∴a的取值范围为（-∞，4]∪[6，+∞）．

点评 本题考查了数形结合思想，考查绝对值的几何意义，考查分类讨论，是一道中档题．