Question

8．在△ABC中，a，b，c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{b}{2a+c}$．
（1）求∠B的大小；
（2）若a=2，$S=\sqrt{3}$，求b，c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得：-2sinAcosB=sinA，结合sinA≠0，可求cosB，结合B的范围可求B的值．
（2）由三角形面积公式可求c，进而由余弦定理解得ac的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理及$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{b}{2a+c}$得：$\frac{cosB}{cosC}=-\frac{sinB}{2sinA+sinC}$，
∴cosB（2sinA+sinC）=-sinBcosC，
∴2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC，
∴-2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴$cosB=-\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴$B=\frac{2π}{3}$，
（2）由$a=2，B=\frac{2π}{3}，S=\frac{1}{2}acsinB=\sqrt{3}$，解得：c=2，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，①
将，a=2，c=2，$B=\frac{2π}{3}$代入①，得$13=16-2ac（1-\frac{1}{2}）$，
解得：ac=3，
可得：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．