Question

1．已知集合{x∈Z|$\frac{2}{x-1}$+1＞0且x²-（k+3）x+3k＜0}={2}，则实数k的取值范围是[-2，3）．

Answer 1

分析 由$\frac{2}{x-1}$+1＞0，化为：（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1，或x＜-1．由x²-（k+3）x+3k＜0，因式分解为：（x-3）（x-k）＜0，对k分类讨论，利用不等式的解法、集合的运算性质即可得出．

解答 解：由$\frac{2}{x-1}$+1＞0，化为：$\frac{x+1}{x-1}$＞0，∴（x+1）（x-1）＞0，解得x＞1，或x＜-1．（*）
由x²-（k+3）x+3k＜0，因式分解为：（x-3）（x-k）＜0，
k＞3时，解得3＜x＜k，不满足条件，舍去；
k=3时，不等式的解集为∅，舍去．
k＜3时，解得k＜x＜3，
当-1≤k＜3时，与（*）联立：解得1＜x＜3，x∈Z，∴满足{x∈Z|$\frac{2}{x-1}$+1＞0且x²-（k+3）x+3k＜0}={2}，因此-1≤k＜3．
当-2≤k＜-1时，与（*）联立：解得k＜x＜-1或1＜x＜3，x∈Z，∴满足{x∈Z|$\frac{2}{x-1}$+1＞0且x²-（k+3）x+3k＜0}={2}，因此-2≤k＜-1．
当k＜-2时，与（*）联立：解得k＜x＜-1或1＜x＜3，x∈Z，∴满足{x∈Z|$\frac{2}{x-1}$+1＞0且x²-（k+3）x+3k＜0}≠{2}，舍去．
综上可得：实数k的取值范围是[-2，3）．
故答案为：[-2，3）．

点评 本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．