Question

解下列不等式
（1）2|2x-1|＞1．
（2）4|1-3x|-1＜0
（3）|3-2x|≤x+4．
（4）|x+1|≥2-x．
（5）|x²-2x-4|＜1
（6）|x²-1|＞x+2．
（7）|x|+|x-2|≥4
（8）|x-1|+|x+3|≥6．
（9）|x|+|x+1|＜2
（10）||x|-|x-4||＞2．

Answer 1

分析：（1）由2|2x-1|＞1，可得 2x-1＞

1

2

，或 2x-1＜-

1

2

，解得 x的范围，即可得到不等式的解集．
（2）由 4|1-3x|-1＜0，可得|3x-1|＜

1

4

，即-

1

4

＜3x-1＜

1

4

，由此求得＜x的范围，即可得到故不等式的解集．
（3）由|3-2x|≤x+4可得，-x-4≤2x-3≤x+4，解得x的范围，即可得到不等式的解集．
（4）由|x+1|≥2-x可得 x+1≥2-x，或 x+1≤x-2，解得 x的范围，即可得到不等式的解集．
（5）由|x²-2x-4|＜1可得-1≤x²-2x-4≤1，即

x2-2x-4≥-1 x2-2x-4≤1

，x的范围，即可得到不等式的解集．
（6）由|x²-1|＞x+2可得 x²-1＞x+2，或 x²-1＜-x-2，解得 x的范围，即可得到不等式的解集．
（7）至（10）利用绝对值的意义，进行求解．

解答：解：（1）由2|2x-1|＞1，可得 2x-1＞

1

2

，或 2x-1＜-

1

2

，解得 x＞

3

4

，或x＜

1

4

，故不等式的解集为 {x|x＞

3

4

，或x＜

1

4

}．
（2）由 4|1-3x|-1＜0，可得|3x-1|＜

1

4

，∴-

1

4

＜3x-1＜

1

4

，∴

1

4

＜x＜

5

12

，故不等式的解集为 {x|

1

4

x＜

5

12

 }．
（3）由|3-2x|≤x+4可得，-x-4≤2x-3≤x+4，解得-

1

3

≤x≤7，故不等式的解集为 {x|-

1

3

≤x≤7 }．
（4）由|x+1|≥2-x可得 x+1≥2-x，或 x+1≤x-2，解得 x≥

1

2

，故不等式的解集为 {x|

1

2

≤x }．
（5）由|x²-2x-4|＜1可得-1≤x²-2x-4≤1，即

x2-2x-4≥-1 x2-2x-4≤1

，即

x≥3 ，或x≤-1 1- 6 ≤x≤1+ 6

，解得 1-

6

≤x≤-1，或3≤x≤1+

6

．
故不等式的解集为 {x|1-

6

≤x≤-1，或3≤x≤1+

6

}．
（6）由|x²-1|＞x+2可得 x²-1＞x+2，或 x²-1＜-x-2，解得 x＜

1- 13

2

，或 x＞

1+ 13

2

，故不等式的解集为 {x|x＜

1- 13

2

，或 x＞

1+ 13

2

 }．
（7）由绝对值的意义可得|x|+|x-2|，表示数轴上的x对应点到0和2对应点的距离之和，而-2对应点到0和2对应点的距离之和正好等于6，
3对应点到0和2对应点的距离之和正好等于4，故不等式|x|+|x-2|≥4 的解集为 {x|x≤-1，或x≥3  }．
（8）由绝对值的意义可得|x-1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到-3和1对应点的距离之和，而-4对应点到-3和1对应点的距离之和正好等于6，
2对应点到-3和1对应点的距离之和正好等于6，故不等式x-1|+|x+3|≥6的解集为 {x|≤-4，或x≥2 }．
（9）由绝对值的意义可得|x|+|x+1|表示数轴上的x对应点到0和-1对应点的距离之和，而-

3

2

对应点到0和-1对应点的距离之和正好等于2，
而

1

2

对应点到0和-1对应点的距离之和正好等于2，故不等式|x|+|x+1|＜2的解集为 {x|-

3

2

≤x≤

1

2

}．
（10）由绝对值的意义可得||x|-|x-4||表示数轴上的x对应点到0和4对应点的距离差的绝对值，而1对应点到0和4对应点的距离差的绝对值正好等于2，
3对应点到0和4对应点的距离差的绝对值正好等于2，故不等式||x|-|x-4||＞2的解集为 {x|x＜1，或 x＞3}．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．