Question

6．已知命题p：方程x²-ax+2=0在x∈（0，1）上有解．命题q：不等式x²+2ax+2a≥0恒成立，若p∨q为真命题，且p∧q为假命题．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出命题p，q为真时，实数a的取值范围．若p∨q为真命题，且p∧q为假命题．则命题p，q一真一假，进而得到答案．

解答 解：方程x²-ax+2=0的两根之积为2，
令f（x）=x²-ax+2，
故方程x²-ax+2=0在x∈（0，1）上不可能有两个解，
故方程x²-ax+2=0在x∈（0，1）上有解时，
f（0）•f（1）=2（3-a）＜0，
解得：a＞3，
即命题p：a＞3，
不等式x²+2ax+2a≥0恒成立时，△=4a²-8a≤0，
解得：0≤a≤2，
即命题q：0≤a≤2，
若p∨q为真命题，且p∧q为假命题．
则命题p，q一真一假，
故$\left\{\begin{array}{l}a＞3\\ a＜0，或a＞2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≤3\\ 0≤a≤2\end{array}\right.$，
解得：0≤a≤2或a＞3．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数和对数函数的图象和性质，复合命题，难度中档．