Question

5．已知f（α）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}=3$
（1）求$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$的值；
（2）若圆C的圆心在x轴上，圆心到直线l：y=tanα•x的距离为$\sqrt{5}$且直线l被圆所截弦长为$2\sqrt{2}$，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （I）利用诱导公式对已知等式进行化简得到$\frac{cosα+sinα}{3cosα-sinα}$=3，则sinα=2cosα，代入所求的代数式进行求值；
（II）利用圆心，半径（圆心到直线y=2x的距离为2$\sqrt{2}$）、半弦长、弦心距的勾股定理关系，求出圆心坐标，然后求出圆C的标准方程．

解答 解：（1）由f（α）=$\frac{sin（\frac{π}{2}-α）+sin（-π-α）}{3cos（2π+α）+cos（\frac{3π}{2}-α）}$=$\frac{cosα+sinα}{3cosα-sinα}$=3，
得sinα=2cosα，
∴$\frac{sinα-3cosα}{sinα+cosα}$=$\frac{2cosα-3cosα}{2cosα+cosα}$=-$\frac{1}{3}$；
（2）由（1）知，sinα=2cosα，则tanα=2，
可得直线l的方程为2x-y=0．
设圆C的方程为（x-a）²+y²=r²（r＞0），则r=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
由$\frac{|2a-0|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{5}$得a=±$\frac{5}{2}$，
∴圆C的方程是（x±$\frac{5}{2}$）²+y²=7．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系的应用、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力．