Question

16．对任意的向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$和实数x∈[0，1]，如果满足$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，都有$|{\overrightarrow a-x\overrightarrow b}|≤λ|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$成立，那么实数λ的最小值为2．

Answer 1

分析 由绝对值和向量的模的性质$\frac{|\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$≤1，即为$\frac{λ}{2}$≥1，解得即可．

解答 解：当向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{b}$时，可得向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为零向量，不等式成立，
∵$|{\overrightarrow a}|=2|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$＞|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
∴|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$|≤|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＜|$\overrightarrow{a}$|，
∴$\frac{|\overrightarrow{a}-x\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$≤1，
则有$\frac{λ}{2}$≥1，即λ≥2
那么实数λ的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查最值的求法，注意运用特值法，以及恒成立思想的运用，考查向量的运算性质，属于中档题．