题目内容

设△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c， $数学公式$ = $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ 若 $数学公式$ ， $数学公式$ 共线，请按以下要求作答：
（1）求角A的大小；
（2）当BC=2，求△ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，
∴sinA•（sinA+ $\text{[math]}$ cosA）- $\text{[math]}$ =0．
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin2A- $\text{[math]}$ =0，即 $\text{[math]}$ sin2A- $\text{[math]}$ cos2A=1，即sin（2A- $\text{[math]}$ ）=1，
∵A∈（0，π），
∴2A- $\text{[math]}$ ∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴2A- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，A= $\text{[math]}$ ．
（2）由余弦定理得：4=b²+c²-bc，又S_△ABC= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ bc，
而b²+c²≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4，（当且仅当b=c时取等号）
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ bcsinA= $\text{[math]}$ bc≤ $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ ．
当△ABC的面积取最大值时，b=c，又A= $\text{[math]}$ ，
∴此时△ABC为等边三角形．
分析：（1）利用向量的坐标运算与辅助角公式可求得sin（2A- $\text{[math]}$ ）=1，A∈（0，π），从而可求得A；
（2）利用余弦定理与基本不等式即可判断△ABC的形状．
点评：本题考查三角形的形状判断，考查平面向量数量积的坐标表示与应用，考查辅助角公式与基本不等式的综合应用，属于中档题．