题目内容
11．已知函数f（x）=$\frac{lnx+（x-b）^{2}}{x}$（b∈R）．若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）＞-x•f′（x），则实数b的取值范围是（ ）| A． | （-∞，$\sqrt{2}$） | B． | $（-∞，\frac{3}{2}）$ | C． | $（-∞，\frac{9}{4}）$ | D． | （-∞，3） |
分析 求导函数，问题转化为b＜x+$\frac{1}{2x}$，设g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，只需b＜g（x）max，结合函数的单调性可得函数的最大值，故可求实数b的取值范围．
解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx+（x-b）^{2}}{x}$x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1+2x（x-b）-lnx-（x-b）^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f（x）+xf′（x）=$\frac{1+2x（x-b）}{x}$，
∵存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
∴1+2x（x-b）＞0
∴b＜x+$\frac{1}{2x}$，
设g（x）=x+$\frac{1}{2x}$，∴b＜g（x）max，
∴g′（x）=$\frac{2{x}^{2}-1}{2{x}^{2}}$，
当g′（x）=0时，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当g′（x）＞0时，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x≤2时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，函数单调递减，
∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=$\frac{9}{4}$，
∴b＜$\frac{9}{4}$，
故选C．
点评 本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的最值，属于中档题．
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16．函数f（x-1）的定义域是[-2，3]，则f（2x-1）的定义域是（ ）
| A． | $[-1，\frac{3}{2}]$ | B． | $[0，\frac{5}{2}]$ | C． | [-5，5] | D． | $[-\frac{1}{2}，2]$ |