Question

17．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求周期，
（2）若将f（x）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，求φ的最小正值．

Answer 1

分析 （1）把函数式f（x）=sin2x+cos2x化积为y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），然后利用周期公式即可计算得解．
（2）利用三角函数的图象平移得到y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$-2φ）．结合该函数为偶函数即可求得φ的最小正值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）将f（x）的图象向右平移φ个单位，
所得图象的函数解析式为：y=$\sqrt{2}$sin[2（x-φ）+$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$-2φ）．
又所得图象关于y轴对称，则$\frac{π}{4}$-2φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴当k=-1时，φ有最小正值是$\frac{3π}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的图象平移，三角函数周期公式的应用，考查了三角函数奇偶性的性质，属于基础题．