Question

3．设$\overrightarrow a$是已知的平面向量且$\overrightarrow a$≠$\overrightarrow{0}$，关于向量$\overrightarrow a$的分解，有如下四个命题：
①给定向量$\overrightarrow b$，总存在向量$\overrightarrow c$，使$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$；
②给定向量$\overrightarrow b$和$\overrightarrow c$，总存在实数λ和μ，使$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$+μ$\overrightarrow c$；
③给定单位向量$\overrightarrow b$和正数μ，总存在单位向量$\overrightarrow c$和实数λ，使$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$+μ$\overrightarrow c$；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量$\overrightarrow{b}$和单位向量$\overrightarrow c$，使$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$+μ$\overrightarrow c$；
上述命题中的向量$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$和$\overrightarrow a$在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是2．

Answer 1

分析 ①由向量加减的几何意义可得；
②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；
④λ和μ为正数，这就使得向量$\overrightarrow{a}$不一定能用两个单位向量的组合表示出来．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面内且两两不共线，∴$\overrightarrow b$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow c$≠$\overrightarrow{0}$，
①，给定向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，只需求得其向量差$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$即为所求的向量$\overrightarrow{c}$，
故总存在向量$\overrightarrow c$，使$\overrightarrow a=\overrightarrow b+\overrightarrow c$，故①正确；
②，当向量$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$和$\overrightarrow a$在同一平面内且两两不共线时，向量$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；
③，取$\overrightarrow{a}$=（4，4），μ=2，$\overrightarrow{b}$=（1，0），
无论λ取何值，向量λ$\overrightarrow{b}$都平行于x轴，而向量μ$\overrightarrow{c}$的模恒等于2，
要使$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{b}+μ\overrightarrow{c}$成立，根据平行四边形法则，向量μ$\overrightarrow{c}$的纵坐标一定为4，
故找不到这样的单位向量$\overrightarrow{c}$使等式成立，故③错误；
④，因为λ和μ为正数，所以$λ\overrightarrow{b}$和$μ\overrightarrow{c}$代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量$\overrightarrow{a}$不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使$\overrightarrow a=λ\overrightarrow b+μ\overrightarrow c$成立，故④错误．
故答案为：2

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．