Question

2．已知函数f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$（x∈R，e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，讨论当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）无极值；当a＞0时，由f′（x）=0，得e^x=a，x=lna，求得单调区间，可得f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值；
（2）令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点?方程g（x）=0在R上没有实数解，分k＞1与k≤1讨论即可得答案．

解答 解：（1）由f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$，可得导数f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
①当a≤0时，f′（x）＞0，
f（x）为（-∞，+∞）上的增函数，则f（x）无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0，得e^x=a，即x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，
即有f（x）在∈（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
故f（x）在x=lna处取到极小值，且极小值为f（lna）=lna，无极大值．
综上，当a≤0时，f（x）无极值；
当a＞0时，f（x）在x=lna处取到极小值lna，无极大值；
（2）当a=1时，f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
则直线l：y=kx-1与曲线y=f（x）没有公共点，
等价于方程g（x）=0在R上没有实数解．
假设k＞1，此时g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{k-1}$）=-1+$\frac{1}{{e}^{\frac{1}{k-1}}}$＜0，
又函数g（x）的图象连续不断，由零点存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
与“方程g（x）=0在R上没有实数解”矛盾，故k≤1．
又k=1时，g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0，知方程g（x）=0在R上没有实数解，
所以k的最大值为1．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数方程的转化思想，注意运用零点存在定理，突出分类讨论思想的运用，属于中档题．