题目内容
6．在△ABC中，4sinA=5sinB，cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，则$\frac{a-b}{a+b}$=$\frac{1}{9}$，cosC=$\frac{1}{8}$．分析 利用正弦定理求得a，b，构造三角形，利用余弦定理求得BD的长，再求CD和AD的长，在等腰三角形中求cosC．
解答 
解：由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，即asinB=bsinA由已知可得a=5k，b=4k
则$\frac{a-b}{a+b}$=$\frac{1}{9}$，
∵a＞b，∴A＞B．在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，
设BD=x，则AD=x，DC=5-x．
在△ADC中，注意cos∠DAC=cos（A-B）=$\frac{31}{32}$，
由余弦定理得：（5-x）2=x2+42-2x×4×$\frac{31}{32}$
即：25-10x=16-$\frac{31}{4}$x，
解得：x=4．
∴在△ADC中，AD=AC=4，CD=1，
∴cosC=$\frac{\frac{1}{2}CD}{AD}$=$\frac{1}{8}$
故答案为：$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{8}$
点评 本题主要考察正弦余弦定理，构造三角形，求余弦值，属于中档题．
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