Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x＞0}\\{-{x}^{2}+4x，x≤0}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥ax-1恒成立，则实数a的取值范围是[-6，0]．

Answer 1

分析 由题意，|f（x）|≥ax-1恒成立，等价于y=ax-1始终在y=|f（x）|的下方，即直线夹在与y=|-x²+4x|=x²-4x（x≤0）相切的直线，和y=-1之间，所以转化为求切线斜率．

解答 解：由题意，|f（x）|≥ax-1恒成立，等价于y=ax-1始终在y=|f（x）|的下方，即直线夹在与y=|-x²+4x|=x²-4x（x≤0）相切的直线，和y=-1之间，所以转化为求切线斜率．
由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-4x}\\{y=ax-1}\end{array}\right.$，可得x²-（4+a）x+1=0①，
令△=（4+a）²-4=0，解得a=-6或a=-2，
a=-6时，x=-1成立；a=-2时，x=1不成立，
∴实数a的取值范围是[-6，0]．
故答案为：[-6，0]．

点评 本题考查分段函数，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，问题转化为直线夹在与y=|-x²+4x|=x²-4x（x≤0）相切的直线，和y=-1之间是关键．