Question

在极坐标系中若曲线ρ=1（θ∈[0，π]）与有两个不同的交点，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：如图：在直角坐标系中，曲线ρ=1的方程为 x²+y²=1，y≥0，即y=x+b，当b=1时，直线和AB重合，由1=，可得b=，故当b=时，直线和半圆相切，从而求得实数b的取值范围．
解答：解：在直角坐标系中，曲线ρ=1表示一个以原点为圆心，以1为半径且位于x轴上方的半圆，方程为x²+y²=1，y≥0，
表示斜率等于1，在y轴上的截距为b的直线，方程为 y=x+b，如图：A （1，0），B（0，1），C（1，1），
当b=1时，直线和AB重合，与半圆由两个交点．根据直线和半圆相切，圆心到直线的距离等于半径可得
 1=，可得b=，故当b=时，直线和半圆相切于点C，
故所求的实数b的取值范围为 ，故答案为：．

点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，体现了数形结合的数学思想，求出当b=时，直线和半圆相切于点C，是解题的关键．