Question

5．已知a＞1，b＞1，且$\frac{1}{4}lna，\frac{1}{4}，lnb$成等比数列，则ab的最小值为e．

Answer 1

分析 由题意和等比中项的性质列出方程，由条件和基本不等式列出不等式，由对数的运算性质化简后求ab的最小值．

解答 解：∵$\frac{1}{4}lna，\frac{1}{4}，lnb$成等比数列，
∴$（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{4}lna•lnb$，则$lna•lnb=\frac{1}{4}$，
∵a＞1，b＞1，∴lna＞0，lnb＞0，
∴$lna+lnb≥2\sqrt{lna•lnb}$=1，
当且仅当lna=lnb时取等号，
则ln（ab）≥1=lne，即ab≥e，
∴ab的最小值最小值是e，
故答案为：e．

点评 本题考查基本不等式在求最值中的应用，对数的运算性质，以及等比中项的性质，考查化简、变形能力．