Question

已知等比数列的公比为，首项为，其前项的和为．数列的前项的

和为， 数列的前项的和为．（1）若，，求的通项公式；

（2）①当为奇数时，比较与的大小；

     ②当为偶数时，若，问是否存在常数（与n无关），使得等式恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解: (1) ∵,

∴        ∴或     ………………2分

∴，或.        ……………………………………4分

(2) ∵常数，   =常数，

∴数列，均为等比数列，首项分别为，，公比分别为，．                            ………………………………6分

①当为奇数时，

当时, ，，,

∴.

当时, ，，,

 ∴.              ……………………………………8分

当时, 设，

，，

,

∴．      

综上所述，当为奇数时，.         ……………………10分

②当为偶数时，

存在常数，使得等式恒成立． ……11分

∵，

∴，，．

∴=

= ．               ………………………………14分

由题设，对所有的偶数n恒成立，又，

∴．                         ………………………………16分

∴存在常数，使得等式恒成立．