Question

13．已知正四面体的棱长为a，求它外接球的体积及内切球的半径．

Answer 1

分析 画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为a的正四面体的外接球、内切球的半径及外接球的体积．

解答 解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V₁=$\frac{1}{3}$•S•r 而正四面体PABC体积V₂=$\frac{1}{3}$•S•（R+r）
根据前面的分析，4•V₁=V₂，
所以，4•$\frac{1}{3}$•S•r=$\frac{1}{3}$••（R+r），
所以，R=3r，
因为棱长为a，所以AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
所以PD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
所以R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a．外接球的体积V=$\frac{4π}{3}•（\frac{\sqrt{6}}{4}）^{3}$a³=$\frac{\sqrt{6}}{8}π$a³．

点评 本题是中档题，考查正四面体的内切球与外接球的半径，找出两个球的球心重合，半径的关系是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．