Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\frac{1}{{{a_n}+1}}=\frac{2}{{{a_{n+1}}+1}}，{a_2}=1$，则S₇=120．

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式判断{a_n+1}是公比为2的等比数列，然后求解数列的和即可．

解答 解：由已知得$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=2$，则{a_n+1}是公比为2的等比数列，
∵a₂+1=2，∴a₁+1=1，
∴$（{{a_1}+1}）+（{{a_2}+1}）+…+（{{a_7}+1}）={S_7}+7=\frac{{1-{2^7}}}{1-2}=127$，
解得S₇=120．
故答案为：120．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．