Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1+\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）}{cosx}$
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）上的最值．

Answer 1

分析 （1）由分母不为0，结合余弦函数的图象可得定义域；
（2）运用两角差的余弦公式和二倍角公式，化简整理可得f（x）=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由x的范围，可得x+$\frac{π}{4}$的范围，运用正弦函数的图象和性质，可得最值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1+\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）}{cosx}$，
可得cosx≠0，即x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即有函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}；
（2）f（x）=$\frac{1+\sqrt{2}cos（2x-\frac{π}{4}）}{cosx}$=$\frac{1+\sqrt{2}（cos2xcos\frac{π}{4}+sin2xsin\frac{π}{4}）}{cosx}$=$\frac{1+cos2x+sin2x}{cosx}$=$\frac{2co{s}^{2}x+2sinxcosx}{cosx}$
=2（sinx+cosx）=2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），可得x+$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{3π}{4}$），
当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$；
当x+$\frac{π}{4}$=0，即x=-$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最小值2．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，注意运用两角差的余弦公式和二倍角公式，正弦函数的图象和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．