题目内容
6．无穷等差数列{an}的各项均为整数，首项为a1、公差为d，Sn是其前n项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题：①对任意满足条件的d，存在a1，使得99一定是数列{an}中的一项；
②存在满足条件的数列{an}，使得对任意的n∈N*，S2n=4Sn成立；
③对任意满足条件的d，存在a1，使得30一定是数列{an}中的一项．
其中正确命题的序号为（ ）
| A． | ①② | B． | ②③ | C． | ①③ | D． | ①②③ |
分析 利用等差数列的公式，分别讨论前n项和3、21、15的具体项数，然后进行推理即可．首先根据条件得出d≤6；①99-21=78能被6整除，且=13，假设15和21之间有n项，那么99和21之间有13n项，得出结论．②利用等差数列的前n项和公式化简S2n=4Sn，得出结论．③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列
{an}中的一项，得出结论．
解答 解：要使等差数列的公差最大，则3，15，21为相邻的前n项和，
此时对应两项为15-3=12，21-15=6，所以d≤6．
①99-21=78能被6整除，且$\frac{78}{6}$，假设15和21之间有n项，
那么99和21之间有13n项，所以99一定是数列{an}中的一项，所以①正确．
②如果有S2n=4Sn，那么由等差数列求和公式有：2na1+n（2n-1）•d=4[na1+$\frac{n（n-1）d}{2}$]，
化简得到，d=2a1，所以只要满足条件d=2a1的数列{an}，
就能使得对任意的n∈N*，S2n=4Sn成立，所以②正确．
③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是数列{an}中的一项，所以③错误．
综上可得：只有①②正确．
故选：A．
点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
走进文言文系列答案
相关题目