Question

9．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂有共同的左右焦点F₁、F₂，两曲线的离心率之积e₁•e₂=1，D是两曲线在第一象限的交点，F₁D与y轴交于点E，则EF₂的长为$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{2a}$．（用a、b表示）．

Answer 1

分析 设椭圆与双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}-\frac{{Y}^{2}}{{B}^{2}}=1$（A＞0，B＞0）的半焦距为c，PF₁=m，PF₂=n，利用椭圆、双曲线的定义，结合e₁•e₂=1可得aA=c²，即DF₂垂直于x轴，EF₂=$\frac{1}{2}D{F}_{1}$．

解答 解：设双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{A}^{2}}-\frac{{Y}^{2}}{{B}^{2}}=1$（A＞0，B＞0），
椭圆与双曲线的半焦距为c，PF₁=m，PF₂=n．∴m+n=2a，m-n=2A．
∵e₁e₂=1，∵$\frac{c}{a}•\frac{c}{A}=1$．⇒m²=n²+4c²⇒DF₂垂直于x轴
⇒D（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）⇒DF₁=2a-$\frac{{b}^{2}}{a}$，∵E为DF₁的中点，∴EF₂=$\frac{1}{2}D{F}_{1}$=$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{2a}$．
故答案为：$\frac{2{a}^{2}-{b}^{2}}{2a}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的离心率问题，属于中档题．