Question

设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A、B∈(0，

π

2

)，若b=a•cos（A+B）．
（1）求证：tanB=

tanA

2tan2A+1

；
（2）当tanB取最大值时，求cotC的值．

Answer 1

（1）由正弦定理，sinB=sinA•（cosAcosB-sinAsinB）=sinA•cosA•cosB-sin²AsinB?（1+sin²A）sinB=sinA•cosAcosB?tanB=

sinA•cosA

1+sin2A

=

sinAcosA

2sin2A+cos2A

=

tanA

2tan2A+1

（2）tanB=

1

2tanA+ 1 tanA

≤

1

2 2

(∵A∈(0，

π

2

))
当且仅当2tanA=

1

tanA

即tanA=

2

2

时，tanB的最大值

2

4

此时，tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

2 2 + 2 4

1- 2 2 • 2 4

=

2

∵tan(A+B)=-tanC?tanC=-

2

∴cotC=-

2

2

．