Question

7．已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，斜率为2$\sqrt{2}$的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且|AB|=9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）设该抛物线的准线为l，P为该抛物线上一点，PC⊥l，C为垂足，若直线CF的斜率为-$\sqrt{3}$，求|PF|．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得x_A+x_B．再利用弦长公式|AB|=x_A+x_B+p，得到p，即可求此抛物线的方程．
（2）得出△PCF为等边三角形，由焦准距为 4，得|CF|=8，即可求出|PF|．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
所以直线AB的方程为y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），
与抛物线联立消去y得4x²-5px+p²=0．
所以x_A+x_B=1.25p，
由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x_A+x_B+p=2.25p=9，所以p=4．
所以抛物线方程为y²=8x．
（2）由直线CF的斜率为-$\sqrt{3}$，得∠CFO=60°，∴∠PCF=60°．
又由抛物线的定义知|PC|=|PF|，
∴△PCF为等边三角形，由焦准距为 4，得|CF|=8，∴|PF|=8．

点评 本题考查了抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查直线与抛物线相交问题、焦点弦长问题、弦长公式，属于中档题．