Question

16．如图，网格中的每个小格均为边长是1的正方形，已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，若$\overrightarrow c$=x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$，则x和y的值分别为（　　）

• A． 4和0
• B． 4和1
• C． $-\frac{4}{5}$和$\frac{8}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$和$-\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 作出图形，取单位向量$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$，从而可用$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$分别表示出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$，再由$\overrightarrow{c}$=x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$，根据平面向量基本定理即可建立关于x，y的二元一次方程组，解出x，y，从而得出x+y的值．

解答 解：如图，取单位向量$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$，则：$\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{c}=4\overrightarrow{i}$，
又$\overrightarrow c$=x$\overrightarrow a$+y$\overrightarrow b$，
∴4$\overrightarrow{i}$=x（$-\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}$）+y（2$\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}$）=（-x+2y）$\overrightarrow{i}$+（-2x-y）$\overrightarrow{j}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=4}\\{-2x-y=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
故选：C．

点评 考查向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及平面向量基本定理．