Question

11．已知函数$f（x）=a{e^x}lnx+\frac{{b{e^{x-2}}}}{x}$，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为$y=e（x-1）+\frac{5}{e}$（其中e=2.71828…是自然对数的底数）．
（ I）求实数a、b的值；
（ II）求证：f（x）＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出b的值，求出函数的导数，根据f′（1）=ae，求出a的值即可；
（Ⅱ）问题转化为证明$xlnx+5{e^{-2}}＞\frac{1}{{2\sqrt{e}}}（x+\frac{1}{2}）≥x{e^{-x}}$在（0，1）上恒成立，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（ I）$f（1）=\frac{b}{e}=\frac{5}{e}⇒b=5，f'（x）=a{e^x}（lnx+\frac{1}{x}）+\frac{{b（x-1）{e^{x-2}}}}{x^2}⇒f'（1）=ae=e⇒a=1$；
（ II）要证明f（x）＞1，即证明xlnx+5e^-2＞xe^-x，
而函数y=xlnx在$（0，\frac{1}{e}）$上单减，在$（\frac{1}{e}，∞）$上单增，
同时函数$y=\frac{x}{e^x}$在（0，1）上单增，在（1，∞）上单减（此处证明略），
因此只须证明$xlnx+5{e^{-2}}＞\frac{1}{{2\sqrt{e}}}（x+\frac{1}{2}）≥x{e^{-x}}$在（0，1）上恒成立．
首先证明$g（x）=xlnx+5{e^{-2}}-\frac{1}{{2\sqrt{e}}}（x+\frac{1}{2}）＞0$，
因$g'（x）=1+lnx-\frac{1}{{2\sqrt{e}}}⇒g'（{x_0}）=0⇒ln{x_0}$
=$\frac{1}{{2\sqrt{e}}}-1$$（0＜{x_0}＜1）⇒g（{x_0}）={x_0}ln{x_0}+5{e^{-2}}-\frac{1}{{2\sqrt{e}}}（{x_0}+\frac{1}{2}）={x_0}（\frac{1}{{2\sqrt{e}}}-1）+5{e^{-2}}-\frac{1}{{2\sqrt{e}}}（{x_0}+\frac{1}{2}）$
=$\frac{5}{e^2}+\frac{1}{{4\sqrt{e}}}-{x_0}⇒g（x）≥g（{x_0}）＞0$；
然后证明$h（x）=x{e^{-x}}-\frac{1}{{2\sqrt{e}}}（x+\frac{1}{2}）≤0$，
因$h'（x）=\frac{1-x}{e^x}-\frac{1}{{2\sqrt{e}}}⇒h''（x）=\frac{x-2}{e}＜0（0＜x＜1）⇒$h'（x）在（0，1）上单减，
且$h'（\frac{1}{2}）=0⇒h（x）$在$（0，\frac{1}{2}）$上单增，在$（\frac{1}{2}，1）$上单减，$⇒h（x）≤h（\frac{1}{2}）=0$．
综上可知，f（x）＞1成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．