题目内容

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，焦点F在直线m：y= $数学公式$ 上，直线m与抛物线相交于A，B两点，P为抛物线上一动点（不同于A，B），直线PA，PB分别交该抛物线的准线l于点M，N．
（1）求抛物线方程；
（2）求证：以MN为直径的圆C经过焦点F，且当P为抛物线的顶点时，圆C与直线m相切．

解：（1）依题意，焦点F（1，0），抛物线方程为y²=4x．
（2）由 $\text{[math]}$ 得4x²-17x+4=0，x₁=4， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
直线PA： $\text{[math]}$ ，令x=-1，
得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
同理，直线PB： $\text{[math]}$ ，令x=-1，得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴MF⊥NF，
∴以MN为直径的圆C经过焦点F．
当P为抛物线的顶点时，t=0，可得MN中点，即圆心 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，即CF⊥AB，
∴圆C与直线m相切．
分析：（1）依题意可知焦点F的坐标，进而求得p，则抛物线的方程可得．
（2）把直线与抛物线方程联立，求得交点A，B的坐标，设出点P的坐标，则直线AP的斜率可表示出来，根据点斜式表示直线AP的方程，把x=-1代入求得M的纵坐标，同理可表示出直线PB的方程把x=-1代入求得N的纵坐标，进而求得 $\text{[math]}$ 判断出MF⊥NF，进而可知以MN为直径的圆C经过焦点F．当P为抛物线的顶点时，t=0，可得MN中点，即圆心坐标，进而求得 $\text{[math]}$ ，进而可知CF⊥AB，推断出圆C与直线m相切．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力．