Question

8．已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₂=4，且a₁，a₃，a₁₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{n-λ}{{a}_{n}}$，若数列{b_n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{n-λ}{{a}_{n}}$=$\frac{n-λ}{3n-2}$，设f（x）=$\frac{x-λ}{3x-2}$，x＞0，根据导数和函数的单调性即可求出λ的范围．

解答 解（1）∵a₂=4，且a₁，a₃，a₁₇成等比数列．
∴a₃²=a₁a₁₇，
∴（4+d）²=（4-d）（4+15d），
∵d≠0，解得d=4，…（4分）
∴a_n=a₂+（n-2）d=4+3（n-2）=3n-2；
∴数列{a_n}的通项公式a_n=3n-2，
（2）∵b_n=$\frac{n-λ}{{a}_{n}}$=$\frac{n-λ}{3n-2}$，
设f（x）=$\frac{x-λ}{3x-2}$，x＞0
∴f′（x）=$\frac{3x-2-3（x-λ）}{（3x-2）^{2}}$=$\frac{3λ-2}{（3x-2）^{2}}$，
∵数列{b_n}是单调递增数列，
∴y=f（x）是单调递增函数，
∴f′（x）≥0，
∴3λ-2≥0，
∴λ≥$\frac{2}{3}$
故λ的范围为[$\frac{2}{3}$，+∞）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，数列的函数特征，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．