Question

19．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求证：
（Ⅰ）$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}≥4$；
（Ⅱ）（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²≥$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a＞0，b＞0，且a+b=1，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}{b}$=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$，运用基本不等式即可得证；
（Ⅱ）先证x²+y²≥$\frac{1}{2}$（x+y）²，则（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²≥$\frac{1}{2}$[（a+$\frac{1}{a}$）+（b+$\frac{1}{b}$）]²，再由（Ⅰ）的结论，即可得证．

解答 证明：（Ⅰ）由a＞0，b＞0，且a+b=1，
则有$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}{b}$=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时不等式取得等号；
（Ⅱ）由x²+y²≥2xy，可得2（x²+y²）≥x²+y²+2xy，
即2（x²+y²）≥（x+y）²，
可得x²+y²≥$\frac{1}{2}$（x+y）²，
则（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²≥$\frac{1}{2}$[（a+$\frac{1}{a}$）+（b+$\frac{1}{b}$）]²
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）²≥$\frac{1}{2}$（1+4）²=$\frac{25}{2}$．
即有（a+$\frac{1}{a}$）²+（b+$\frac{1}{b}$）²≥$\frac{25}{2}$．
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时不等式取得等号．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用“1”的代换和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．