Question

设等差数列{a_n}的前项n和为S_n，已知a₅+a₆=24，S₁₁=143．已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=2b_n-2
（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{

an

bn

}的前n项和D_n，求满足条件?n∈N^*，D_n＜t的最小正整数．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的函数特性,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件通过等差数列求数列{a_n}，利用等比数列求解{b_n}的通项公式；
（2）设数列{

an

bn

}的前n项和D_n，直接利用错位相减法求出D_n，然后通过满足条件?n∈N^*，D_n＜t数列的单调性，求解最小正整数t．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，由S₁₁=11a₆=143，∴a₆=13．又a₅+a₆=24，
解得a₅=11，d=2，…（2分）
因此{a_n}的通项公式是：a_n=a₅+（n-5）×2=2n+1，（n=1，2，3，…）．…（3分）
又当n=1，b₁=2，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=2b_n-2b_n-1…（5分）
∴b_n=2b_n-1（n≥2），由于b₁=2≠0∴b_n≠0，

bn

bn-1

=2，
故{b_n}是公比为2的等比数列，首项b₁=2，∴bn=2n…（6分）
（2）∴

an

bn

=

2n+1

2n

…（7分），
∴Dn=

3

21

+

5

22

+

7

23

+

9

24

+…+

2n-1

2n-1

+

2n+1

2n

①

1

2

Dn=

3

22

+

5

23

+

7

24

+

9

25

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

②
①-②得

1

2

Dn=

3

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+

2

25

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

…（8分）
=

1

2

+2×(

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n

)-

2n+1

2n+1

=

1

2

+2×

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

所以Dn=5-

2n+5

2n

…（11分）
因为Dn-Dn-1=

2n+3

2n-1

-

2n+5

2n

=

2n+1

2n

＞0，所以数列{D_n}为单调递增数列．
又Dn=5-

2n+5

2n

＜5，D4=5-

13

16

＞4，所以常数t的最小正整数为5．…（13分）

点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，错位相减法的应用，函数的特征，考查分析问题解决问题的能力．