Question

设f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）及f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）若f（m）+f（1）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）运用换元法，结合指数和对数的互化，化简整理，即可得到解析式和定义域；
（2）运用奇偶性的定义，先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（3）方法一、通过计算f（m）+f（1），得到不等式，再讨论a＞1，0＜a＜1结合指数函数的单调性，解得即可；
方法二、运用单调性的定义证明f（x）递增，再由奇偶性，即可得到m＞-1．

解答： 解：（1）设t=logax∴x=at，
将x=a^t代入f(logax)=

a(x2-1)

x(a2-1)

中，
得f(t)=

a

a2-1

(at)2-1

at

=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，
由于t的取值范围为R∴f（x）的定义域为R；
（2）f（x）的定义域为R
又∵f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)∴f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f(x)，
故f（x）为奇函数；                                    
（3）解法一：f(m)+f(1)=

a

a2-1

(am-a-m)+

a

a2-1

(a-a-1)

a

a2-1

[(am+a)-(a-m+a-1)]=

a

a2-1

[(am+a)-

(am+a)

am•a

]=

(am+a)

am(a2-1)

(am+1-1)，
∵a＞0，a≠1∴

am+a

am

＞0，f（m）+f（1）＞0∴

am+1-1

a2-1

＞0，
当0＜a＜1时，a²-1＜0∴a^m+1-1＜0∴m＞-1
当a＞1时，a²-1＞0∴a^m+1-1＞0∴m＞-1
综上m＞-1；
解法2：先证明f（x）为单调递增函数．
设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)
∵a(1+

1

ax1+x2

)＞0，
当0＜a＜1时，a2-1＜0，ax1-ax2＞0∴f(x1)-f(x2)＜0，f（x）为单调递增函数
当a＞1时，a2-1＞0，ax1-ax2＜0∴f(x1)-f(x2)＜0，f（x）为单调递增函数
综上f（x）为单调递增函数
∵f（m）+f（1）＞0∴f（m）＞-f（1）=f（-1）
∴m＞-1．

点评：本题考查函数的解析式和定义域的求法，考查函数的奇偶性和单调性的判断及运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．