Question

8．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，取AC的中点D，连接PD，BD．由于PA=PC，可得PD⊥AC．利用正三棱锥的侧面都是直角三角形，可得PB⊥平面PAC，于是PD⊥AC．因此∠BDP是侧面与底面所成的二面角的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：如图所示，取AC的中点D，连接PD，BD．
∵PA=PC，∴PD⊥AC．
∵PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA．
又PA∩PC=P，∴PB⊥平面PAC．
∴PD⊥AC．
∴∠BDP是侧面与底面所成的二面角的平面角．
不妨取PA=2，则PD=$\frac{PC•PA}{AC}$=$\frac{2×2}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
PD=$\sqrt{P{D}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
在Rt△PBD中，cos∠BDP=$\frac{PD}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正三棱锥的性质、线面垂直的判定与性质定理、二面角、直角三角形的边角关系、勾股定理、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．