Question

设函数（ω＞0，a∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．
（1）求ω的值；
（2）如果f（x）在区间上的最小值为，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二倍角公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2ωx+）+a-，再结合正弦函数最大值的结论，解关于ω的方程，即可得ω的值；
（2）根据题意，得x+∈，再结合正弦函数图象在区间上的单调性，可得当x=时，f（x）有最小值，由此建立关于a的方程，解之即可得到实数a的值．
解答：解：（1）∵sinωxcosωx=sin2ωx，sin²ωx=（1-cos2ωx）
∴f（x）=sin2ωx-（1-cos2ωx）+a=sin（2ωx+）+a-
∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
∴当x=时，2ωx+=+2kπ，（k∈Z），即ω+=+2kπ，（k∈Z），可得ω=+2kπ，（k∈Z）
结合ω＞0，得整数k=0时，ω=
（2）由（1），得f（x）=sin（x+）+a-
∵x∈，得x+∈
∴当x=时，x+=，此时f（x）有最小值-+a-=
由此可得：a=．
点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．