Question

1．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）的导函数的图象如图所示：
（1）求a，b的值并写出f（x）的单调区间；
（2）函数y=f（x）有三个零点，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的图象可知，f'（x）=0的两个根为-1，2，根据根与系数的关系即可求出a，b的值，并由图象得到单调区间；
（2）求出函数f（x）的极大值和极小值，由函数f（x）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求c的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=x²+2ax+b，
∵f′（x）=0的两个根为-1，2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-2a}\\{-1×2=b}\end{array}\right.$，
解得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2，
由导函数的图象可知，当-1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x＜-1或x＞2时，f′（x）＞0，函数单调递增，
故函数f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增，在（-1，2）上单调递减．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，函数f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上是增函数，在（-1，2）上是减函数，
∴函数f（x）的极大值为f（-1）=$\frac{7}{6}$+c，极小值为f（2）=c-$\frac{10}{3}$．
而函数f（x）恰有三个零点，故必有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7}{6}+c＞0}\\{c-\frac{10}{3}＜0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{7}{6}$＜c＜$\frac{10}{3}$．
∴使函数f（x）恰有三个零点的实数c的取值范围是（-$\frac{7}{6}$，$\frac{10}{3}$）

点评 本题考查了导数的运算法则和导函数的图象，考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把函数f（x）恰有三个零点转化为函数极值的范围问题，此题是中档题．